【复变函数笔记】解析函数的定义和性质

news/2024/2/29 3:05:39

文章目录

  • 解析函数的等价定义
  • 解析函数的性质

解析函数的等价定义

  1. 解析函数的定义 f ( z ) f(z) f(z)在区域内可导则在区域内解析,在一点解析就是在某一邻域内可导。解析函数不可能只在一点解析。
  2. 柯西-黎曼方程:函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D D D内解析的充要条件是: u , v u,v u,v D D D内可微,并且满足柯西-黎曼方程 ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \cfrac{\partial u}{\partial x}=\cfrac{\partial v}{\partial y},\cfrac{\partial u}{\partial y}=-\cfrac{\partial v}{\partial x} xu=yv,yu=xv。此时 f ( z ) f(z) f(z)在点 z = x + i y z=x+iy z=x+iy的导数为 f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = 1 i ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ y f'(z)=\cfrac{\partial u}{\partial x}+i\cfrac{\partial v}{\partial x}=\cfrac{1}{i}\cfrac{\partial u}{\partial y}+\cfrac{\partial v}{\partial y} f(z)=xu+ixv=i1yu+yv

记忆方法
C-R方程示意图平行的相等,交叉的是相反数。
导数公式的理解:对于 f ( z ) = u + i v f(z)=u+iv f(z)=u+iv d f ( z ) d z = ∂ f ( z ) ∂ x ∂ x ∂ z \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z} dzdf(z)=xf(z)zx,其中 z = x + i y z=x+iy z=x+iy,故 ∂ z ∂ x = 1 \frac{\partial z}{\partial x}=1 xz=1 ∂ x ∂ z = 1 \frac{\partial x}{\partial z}=1 zx=1,而 ∂ f ( z ) ∂ x = u x + i v y \frac{\partial f(z)}{\partial x}=u_x+iv_y xf(z)=ux+ivy,由此得出 d f ( z ) d z = u x + i v x \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=u_x+iv_x dzdf(z)=ux+ivx。又 d f ( z ) d z = ∂ f ( z ) ∂ x ∂ y ∂ z \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{\partial f(z)}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial z} dzdf(z)=xf(z)zy,其中 ∂ y ∂ z = 1 ∂ z ∂ y = 1 i \frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{1}{i} zy=yz1=i1,故 d f ( z ) d z = 1 i ( u y + i v y ) = 1 i u y + v y \frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{i}(u_y+iv_y)=\frac{1}{i}u_y+v_y dzdf(z)=i1(uy+ivy)=i1uy+vy
初等函数的解析性
(1) 指数函数: e z = e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y) ez=ex+iy=ex(cosy+isiny),满足 ∣ e z ∣ = e x |e^z|=e^x ez=ex Arg ⁡ e z = y + 2 k π \operatorname{Arg} e^z=y+2k\pi Argez=y+2,并且 e z ≠ 0 e^z\ne 0 ez=0。它是以 2 k π i 2k\pi i 2kπi为周期的周期函数。指数函数在复平面内处处解析,其导数就是它本身。
(2) 对数函数: Ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + i Arg ⁡ z \operatorname{Ln} z=\ln |z|+i\operatorname{Arg}z Lnz=lnz+iArgz,为多值函数,其任两个值的差为 2 k π i 2k\pi i 2kπi Ln ⁡ z \operatorname{Ln} z Lnz的主值记为 ln ⁡ z \ln z lnz,定义为 Arg ⁡ z \operatorname{Arg}z Argz取主值 arg ⁡ z \arg z argz时的值(注意 arg ⁡ z ∈ ( − π , π ] \arg z\in(-\pi,\pi] argz(π,π]),即 ln ⁡ z = ln ⁡ ∣ z ∣ + i arg ⁡ z \ln z=\ln|z|+i\arg z lnz=lnz+iargz。因此, Ln ⁡ e x + i y = x + i ( y + 2 k π ) \operatorname{Ln} e^{x+iy}=x+i(y+2k\pi) Lnex+iy=x+i(y+2) ln ⁡ e x + i y = x + i ( y + 2 m π ) \ln e^{x+iy}=x+i(y+2m\pi) lnex+iy=x+i(y+2),其中 m m m是一个合适的整数使得 y + 2 m π ∈ ( − π , π ] y+2m\pi\in(-\pi,\pi] y+2(π,π] Ln ⁡ z \operatorname{Ln} z Lnz的各个分支在除去原点与负实轴外的复平面内处处连续、处处解析,并且 ( Ln ⁡ z ) ′ = 1 z (\operatorname{Ln} z)'=\frac{1}{z} (Lnz)=z1。这个导数是通过反函数的求导公式得到的。
(3) 幂函数: z b = e b Ln ⁡ z z^b=e^{b\operatorname{Ln} z} zb=ebLnz。当 b b b为整数时是单值的;当 b b b为有理数 p q \frac{p}{q} qp p , q p,q p,q为互质整数, q > 0 q>0 q>0)时有 q q q个值;当 b b b为无理数时有无穷多个值。判断的方法为考虑 e 2 k π i b e^{2k\pi ib} e2kπib的周期性。 z b z^b zb的各个分支在除原点和负实轴的复平面内解析,且 ( z b ) ′ = b z b − 1 (z^b)'=bz^{b-1} (zb)=bzb1;特别地,当 b b b是整数时, z b z^b zb是单值函数,在整个复平面内解析。
(4) 三角函数: cos ⁡ z = e i z + e − i z 2 \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} cosz=2eiz+eiz sin ⁡ z = e i z − e − i z 2 i \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} sinz=2ieizeiz(分子上 e i z e^{iz} eiz一定在前头)。它们都是以 2 π 2\pi 2π为周期的周期函数,奇偶性、三角恒等式和实变函数相同。它们都在整个复平面内解析,导函数也与实变函数相同。 e i z = cos ⁡ z + i sin ⁡ z e^{iz}=\cos z+i\sin z eiz=cosz+isinz成立。它们的零点都在实轴上。双曲正弦、双曲余弦函数的定义就是在正弦、余弦的定义中把 i i i全删掉。
(5) 反三角函数:称方程 z = cos ⁡ w z=\cos w z=cosw的所有根 w w w z z z的复变反余弦函数,记作 w = Arccos ⁡ z w=\operatorname{Arccos} z w=Arccosz。解方程得到 Arccos ⁡ z = − i Ln ⁡ ( z + z 2 − 1 ) \operatorname{Arccos} z=-i\operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2-1}) Arccosz=iLn(z+z21 ) Arcsin ⁡ z = − i Ln ⁡ ( i z + 1 − z 2 ) \operatorname{Arcsin} z=-i\operatorname{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2}) Arcsinz=iLn(iz+1z2 ),其中 ⋯ \sqrt{\cdots} 是双值函数。

  1. 沿闭曲线的积分:函数 f ( z ) f(z) f(z)在单连通域 B B B内解析的充要条件是 f ( z ) f(z) f(z) B B B内连续,并且对 B B B内任一闭曲线都有 ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0 Cf(z)dz=0

这个可以用格林公式来理解。令 z = x + i y z=x+iy z=x+iy f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则 d z = d x + i d y \mathrm{d}z=\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y dz=dx+idy f ( z ) d z = ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ( u d x − v d y ) + i ( v d x + u d y ) f(z)\mathrm{d}z=(u+iv)(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y)=(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) f(z)dz=(u+iv)(dx+idy)=(udxvdy)+i(vdx+udy) ∮ C f ( z ) d z = ∮ C ( u d x − v d y ) + i ∮ C ( v d x + u d y ) \oint_C f(z)\mathrm{d}z=\oint_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y)+i\oint_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) Cf(z)dz=C(udxvdy)+iC(vdx+udy)要让这两个第一型线积分都为 0 0 0,回想一下格林公式: ∮ C P d x + Q d y = ∬ ( σ ) ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d σ \oint_CP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma CPdx+Qdy=(σ)(xQyP)dσ只需使每个曲线积分的 ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} xQ=yP处处成立即可。对 ∮ C ( u d x − v d y ) \oint_C(u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y) C(udxvdy),我们有 ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} yu=xv;对 ∮ C ( v d x + u d y ) \oint_C(v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) C(vdx+udy),我们有 ∂ v ∂ y = ∂ u ∂ x \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} yv=xu。这就是柯西-黎曼方程。

  1. 幂级数:函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内解析的充要条件为 f ( z ) f(z) f(z) D D D内任一点 z 0 z_0 z0的邻域内可以展开成幂级数 ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n{(z-z_0)}^n n=0cn(zz0)n。能展开成幂级数是解析函数的本质属性,是实变函数所没有的。

解析函数的性质

  1. 基本性质

    • 若函数 f ( z ) f(z) f(z)在一点解析,则一定在这一点连续(因为可导必连续)。
    • f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0不解析,则称 z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z)的奇点。
    • 在区域 D D D内两解析函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z)的和、差、积、商(出去分母为 0 0 0的点)在 D D D内解析。
    • 设函数 h = g ( z ) h=g(z) h=g(z) z z z平面上的区域 D D D内解析, w = f ( h ) w=f(h) w=f(h) h h h平面上的区域 G G G内解析,且 g ( z ) g(z) g(z)的值域 R ( g ) ⊆ G R(g)\subseteq G R(g)G,则复合函数 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)] D D D内解析。
  2. 柯西-古萨基本定理:如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在简单闭曲线 C C C上以及由它围成的区域 D D D内处处解析,那么 ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_C f(z)\mathrm{d}z=0 Cf(z)dz=0

  3. 复合闭路定理:设 C C C为多连通域 D D D内的一条简单闭曲线, C 1 , C 2 , ⋯ , C n C_1,C_2,\cdots,C_n C1,C2,,Cn是在 C C C内部的 n n n条简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以它们为边界的 n n n个区域全含于 D D D。如果 f ( z ) f(z) f(z) D D D内解析,那么:

    • ∮ C f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z \oint_C f(z)\mathrm{d}z=\sum\limits_{k=1}^n\oint_{C_k} f(z)\mathrm{d}z Cf(z)dz=k=1nCkf(z)dz
    • ∮ Γ f ( z ) d z = 0 \oint_{\Gamma}f(z)\mathrm{d}z=0 Γf(z)dz=0其中 Γ \Gamma Γ是由 C C C及各 C k C_k Ck的负向所组成的复合闭路,即 Γ = C + C 1 − + C 2 − + ⋯ + C n − \Gamma=C+C_1^-+C_2^-+\cdots+C_n^- Γ=C+C1+C2++Cn

意思就是,围绕很多奇点的闭路积分,等于围绕每个奇点的闭路积分之和。有很多奇点时分开算即可。

  1. 闭路变形原理:在给定区域内的一个解析函数 f ( z ) f(z) f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不经过函数 f ( z ) f(z) f(z)不解析的点。

应用:围绕一个奇点进行积分,不管路径多么稀奇古怪,总可以化为一个小的环路。

  1. 原函数:设 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内连续,如果函数 φ ( z ) \varphi(z) φ(z)在区域 D D D内的导数等于 f ( z ) f(z) f(z)(即 φ ′ ( z ) = f ( z ) \varphi'(z)=f(z) φ(z)=f(z)),则称 φ ( z ) \varphi(z) φ(z) f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内的一个元函数。因为解析函数一定连续,所以如果 f ( z ) f(z) f(z)在单连通域 B B B内解析,则 F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ F(z)=\int_{z_0}^z f(\zeta)\mathrm{d}\zeta F(z)=z0zf(ζ)dζ f ( z ) f(z) f(z)在单连通域 B B B内的一个原函数。

  2. 柯西积分公式:如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内处处解析, C C C D D D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全包含于 D D D z 0 z_0 z0 C C C内部的任一点,那么 f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z f(z0)=2πi1Czz0f(z)dz

从留数的角度看,设 f ( z ) f(z) f(z) z = z 0 z=z_0 z=z0处的洛朗展开式为 f ( z ) = ⋯ + c − 1 ( z − z 0 ) − 1 + f ( z 0 ) + c 1 ( z − z 0 ) + ⋯ f(z)=\cdots+c_{-1}{(z-z_0)}^{-1}+f(z_0)+c_1(z-z_0)+\cdots f(z)=+c1(zz0)1+f(z0)+c1(zz0)+,则 f ( z ) z − z 0 = ⋯ + c − 1 ( z − z 0 ) − 2 + f ( z 0 ) ( z − z 0 ) − 1 + c 1 + ⋯ \frac{f(z)}{z-z_0}=\cdots+c_{-1}{(z-z_0)}^{-2}+f(z_0){(z-z_0)}^{-1}+c_1+\cdots zz0f(z)=+c1(zz0)2+f(z0)(zz0)1+c1+,于是得出 Res ⁡ ( f ( z ) z − z 0 , z 0 ) = f ( z 0 ) \operatorname{Res}\left(\frac{f(z)}{z-z_0},z_0\right)=f(z_0) Res(zz0f(z),z0)=f(z0),这样就可以得出柯西积分公式了。虽然这样有点循环论证的味道

  1. 解析函数的无限可导性:解析函数的导数也是解析函数,因而解析函数的任意阶导数都是解析函数。

  2. 高阶导数公式 f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z f(n)(z0)=2πin!C(zz0)n+1f(z)dz

注意不要忘了 n n n的阶乘!!!高阶导数公式有阶乘,泰勒级数有阶乘,用导数计算留数也有阶乘。
也不要忘了分母是 n + 1 n+1 n+1次方,而不是 n n n次方!!!

  1. 柯西不等式:设函数 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内解析, z 0 ∈ D z_0\in D z0D,则 ∣ f ( n ) ( z 0 ) ∣ ≤ n ! ⋅ max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R n |f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!\cdot\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^n} f(n)(z0)Rnn!zz0=Rmaxf(z)这个定理刻画了一点的 n n n阶导数与围绕它的环域上 f ( z ) f(z) f(z)绝对值的最大值的关系。

证明 ∣ f ( n ) ( z 0 ) ∣ = ∣ n ! 2 π i ∮ ∣ z − z 0 ∣ = R f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z ∣ ≤ n ! 2 π ∮ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ ∣ z − z 0 ∣ n + 1 d s ≤ n ! 2 π ∮ ∣ z − z 0 ∣ = R max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R n + 1 d s = n ! 2 π max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R n + 1 ⋅ 2 π R = n ! ⋅ max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R n |f^{(n)}(z_0)|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z\right|\le\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{|f(z)|}{{|z-z_0|}^{n+1}}\mathrm{d}s\\ \le\frac{n!}{2\pi}\oint_{|z-z_0|=R}\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^{n+1}}\mathrm{d}s=\frac{n!}{2\pi}\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^{n+1}}\cdot 2\pi R=\frac{n!\cdot\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R^n} f(n)(z0)= 2πin!zz0=R(zz0)n+1f(z)dz 2πn!zz0=Rzz0n+1f(z)ds2πn!zz0=RRn+1zz0=Rmaxf(z)ds=2πn!Rn+1zz0=Rmaxf(z)2πR=Rnn!zz0=Rmaxf(z)

  1. 刘维尔定理:设 f ( z ) f(z) f(z)在整个复平面上解析且有界,则 f ( z ) f(z) f(z)为常数。

证明:设在整个复平面上 ∣ f ( z ) ∣ ≤ M |f(z)|\le M f(z)M,其中 M M M是上界。则由柯西不等式知, ∀ 0 z ∈ C \forall _0z\in\mathbb{C} 0zC R > 0 R>0 R>0,有 ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ ≤ max ⁡ ∣ z − z 0 ∣ = R ∣ f ( z ) ∣ R ≤ M R |f'(z_0)|\le\frac{\max\limits_{|z-z_0|=R}|f(z)|}{R}\le\frac{M}{R} f(z0)Rzz0=Rmaxf(z)RM R → ∞ R\to\infty R,即知 ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ |f'(z_0)| f(z0)小于任意正数,因而 ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ = 0 |f'(z_0)|=0 f(z0)=0 f ′ ( z 0 ) = 0 f'(z_0)=0 f(z0)=0。于是可得 f ′ ( z ) ≡ 0 f'(z)\equiv 0 f(z)0,即 f ( z ) f(z) f(z)恒为常数。

  1. 调和函数(必要但不充分条件):区域 D D D内的解析函数的实部和虚部都是 D D D内的调和函数。其逆命题不一定成立。

也就是说,设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D D D内解析,则 ∀ ( x , y ) ∈ D \forall (x,y)\in D (x,y)D ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\\ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0 x22u+y22u=0x22v+y22v=0这可以从柯西-黎曼方程推得。

  1. 洛朗级数:设 f ( z ) f(z) f(z)在圆环域 R 1 < ∣ z − z 0 ∣ < R 2 R_1<|z-z_0|<R_2 R1<zz0<R2内解析 R 1 R_1 R1 R 2 R_2 R2常根据奇点确定),则在此圆环域内 f ( z ) f(z) f(z)必能唯一地展开成双边幂级数 f ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n ( z − z 0 ) n f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n{(z-z_0)}^n f(z)=n=+cn(zz0)n其中 c n = 1 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{{(z-z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}z\quad(n=0,\pm1,\pm2,\cdots) cn=2πi1C(zz0)n+1f(z)dz(n=0,±1,±2,) C C C为该圆环域内绕 z 0 z_0 z0的任一正向简单闭曲线。

  2. 留数:若 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0处解析,则 Res ⁡ [ f ( z ) , z 0 ] = 0 \operatorname{Res}[f(z),z_0]=0 Res[f(z),z0]=0


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